27. Логика

формальная система (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других. Формальная система — это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в которой представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики. Формальная теория считается определенной, если: Задано конечное или счётное множество произвольных символов. Конечные последовательности символов называются выражениями теории. Имеется подмножество выражений, называемых формулами. Выделено подмножество формул, называемых аксиомами. Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода. Обычно имеется эффективная процедура, позволяющая по данному выражению определить, является ли оно формулой. Часто множество формул задаётся индуктивным определением. Как правило, это множество бесконечно. Множество символов и множество формул в совокупности определяют язык или сигнатуру формальной теории. Чаще всего имеется возможность эффективно выяснять, является ли данная формула аксиомой; в таком случае теория называется эффективно аксиоматизированной или аксиоматической. Множество аксиом может быть конечным или бесконечным. Если число аксиом конечно, то теория называется конечно аксиоматизируемой. Если множество аксиом бесконечно, то, как правило, оно задаётся с помощью конечного числа схем аксиом и правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом. Обычно аксиомы делятся на два вида: логические аксиомы (общие для целого класса формальных теорий) и нелогические или собственные аксиомы (определяющие специфику и содержание конкретной теории). Для каждого правила вывода R и для каждой формулы A эффективно решается вопрос о том, находится ли выбранный набор формул в отношении R с формулой A, и если да, то A называется непосредственным следствием данных формул по правилу R. Выводом называется всякая последовательность формул такая, что всякая формула последовательности есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула называется теоремой, если существует вывод, в котором эта формула является последней. Теория, для которой существует эффективный алгоритм, позволяющий узнавать по данной формуле, существует ли её вывод, называется разрешимой; в противном случае теория называется неразрешимой. Теория, в которой не все формулы являются теоремами, называется абсолютно непротиворечивой.	Язык И-ЛИБО-систем	https://ru.wikipedia.org/wiki/Формальная система
область интерпретации
математическая логика
язык предикатов первого порядка
монотонность
истинностная оценка
истиностное значение
переменная	Для людей, имеющих дело с вычислительной техникой, назначение переменной очевидно - хранить (разные) значения. Но коль скоро здесь делается попытка формализации, то интерес представляет также мнение тех, кто идет от математики. Оказалось, что для них более фундаментальными являются строго заданные схемы интерпретации, а не тот очевидный факт,что (простая) переменная может хранить в каждый момент времени лишь одно своё допустимое значение. При обосновании своего мироощущения эти формалисты обычно приводят пример, подобный следующему (Пример 19). Рассмотрим пару расстояний от угла (вашего) стола или монитора вдоль оной из сторон - они сосуществуют одновременно. Для "математика" именно связь, например конъюнкцией, и последующая интрпретация с подстановкой в разные позиции одной переменной произвольного значения делает (сложную!) формулу вида (x=5) & (x=10) невыполнимой, ложной. Квинтэссенцией абсурда при этом становится утверждение об открытости атомарных формул вида (x=5). То есть, для "математика" ложность того, что переменная может одновременно иметь разные значения, оказывается производной от таких сложных понятий, как конъюнкция и интепретация, но никак не от простейшего понимания сущности переменной - ведь для него разные расстояния (значения) сосуществуют одновременно! А для программиста всё очевидно - сосуществуют (одновременно) лишь разные переменные (с произвольными значениями)! То есть, корректным и первичным явлется способ существования переменных и значений; вторичным - формализация связей между сложными сочетаниями значений в наборе переменных. Для кого это не так - вряд ли получат пользу от дальнейшего изучения (goto END). А для сторонников правильных взглядов уместно коснуться основных моментов разрабатываемой семантики. Главным в ней является признание наличия глобального времени, к моментам которого приязаны значения рассматриваемых переменных. Так, именно к этим моментам неявно привязаны последовательности значений стандартной процедуры интерпретации.
допустимое значение
формула
логический вывод
конъюнкция
дизъюнкция
выполнимая формула
свободная переменная формулы
процедура интерпретации
атом, атомарная формула
выполнимая формула
свободные переменные
идентификация
интерпретация
часть-целое
ошибка
референтная теория истины
коггерентная теория истины
согласованность